Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;5). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Thể tích của tứ diện OABC là
A. 10 6
B. 450
C. 10
D. 45
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với điểm gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).
A. 3 x + 2 y + z + 14 = 0
B. 2 x + y + 3 z + 9 = 0
C. 3 x + 2 y + z - 14 = 0
D. 2 x + y + z - 9 = 0
Đáp án A.
Ta có A M ⊥ B C ⊥ O A ⇒ B C ⊥ O A M ⇒ B C ⊥ O M
Tương tự ta cũng có O M ⊥ A C ⇒ O M ⊥ P ⇒ P (P) nhận O M ¯ = 3 ; 2 ; 1 là vecto pháp tuyến.
Trong các đáp án, chọn đáp án mặt phẳng có vecto pháp tuyến có cùng giá với O M ¯ và không chứa điểm M thì thỏa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H 1 ; 2 ; − 2 . Mặt phẳng α đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của Δ A B C . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A. 81 π 2
B. 243 π 2
C. 81 π
D. 243 π
Phương pháp:
Gọi tọa độ các điểm A, B, C.
Lập phương trình mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz bằng phương trình đoạn chắn.
Từ đó tìm được các điểm A, B, C. Từ đó tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).
A. 3x+2y+z+14=0
B. 2x+y+3z+9=0
C. 3x+2y+z-14=0
D. 2x+y+z-9=0.
Chọn A
Gọi A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
Vì M là trực tâm của tam giác ABC nên:
Khi đó phương trình (P): 3x+2y+z-14=0.
Vậy mặt phẳng song song với (P) là: 3x+2y+z+14=0.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;2;5) Số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho OA = OB = OC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O) là:
A. 8
B. 3
C. 4
D. 1
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;5). Số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho OA = OB = OC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O) là:
A. 8
B. 3
C. 4
D. 1
Đáp án C
Phương pháp
+) Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a, b, c ≠ 0) viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B, C dạng đoạn chắn.M ∈ (P)=> Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P).
+) Ứng với mỗi trường hợp tìm các ẩn a, b, c tương ứng
Cách giải
Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a, b, c ≠ 0) khi đó phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C là
TH1: a=b=c thay vào (*) có
TH2: a=b=-c thay vào (*) có
TH3: a=-b=c thay vào (*) có
TH4: a=-b=-c thay vào (*) có
Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
A. 6x +3y-2z -6=0
B. x +2y+3z -14=0
C. x +2y+3z -11=0
D. x 1 + y 2 + z 3 = 3
Đáp án B
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và M là trực tâm tam giác ABC => OM ⊥ (ABC)
Suy ra mp(ABC) nhận O M → làm véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm M(1;2;3)
Vậy phương trình mp(P):
<=> x +2y+3z -14=0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M 1 ; 2 ; 3 và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
A. 6 x + 3 y − 2 z − 6 = 0
B. x + 2 y + 3 z − 14 = 0
C. x + 2 y + 3 z − 11 = 0
D. x 1 + y 2 + z 3 = 3
Đáp án B
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và M là trực tâm Δ A B C ⇒ O M ⊥ A B C
Suy ra mp A B C nhận O M → làm véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm M(1;2;3)
Vậy phương trình m p P : 1. x − 1 + 2. y − 2 + 3. z − 3 = 0 ⇔ x + 2 y + 3 z − 14 = 0
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (1;1;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C thỏa mãn OA = 2OB. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC.
A. 64/27
B. 10/3
C. 9/2
D. 81/16
Chọn D
Giả sử A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0
Khi đó mặt phẳng (P) có dạng .
Vì (P) đi qua M nên
Mặt khác OA = 2OB nên a = 2b nên
Thể tích khối tứ diện OABC là: V= abc/6
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C thỏa mãn OA=2OB. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC.
A. 64 27
B. 10 3
C. 9 2
D. 81 16